sábado, 5 de fevereiro de 2011

Como fatorar expressões algébricas?


Não sabe fatorar quando aparece "x" no meio? Não consegue tirar o MMC de frações com "x+3" no denominador? Aprenda a fatorar expressões.



Para começar, há duas definições para "fatoração", uma de acordo com a Aritmética e outra pela Álgebra. Veja:

fatorar (Fonte: Michaelis)
fa.to.rar
1 Decompor um número em seus fatores primos.
2 Transformar um polinômio em um produto de fatores.

Aqui estudaremos a segunda definição, a algébrica, para facilitar a resolução de equações de vários graus.

Irei dividir vários tipos de fatoração, da mais simples para as mais complexas. Uma dica para qualquer fatoração é agrupar os fatores comuns. Guarde isso!

1º tipo: Equação com dois termos

x² = 8x (proibido cancelar o "x")
Dos dois lados há um fator "x" pelo menos. Deixe-os do mesmo lado.
x² - 8x = 0
Separe o fator comum. (Coloque em evidência o "x")
x(aqui dentro você deve colocar o que deve ser multiplicado para que a equação volte ao normal) = 0
x( x - 8 ) = 0 (equação fatorada)
Perceba que se você multiplicar x por (x - 8) chegará em x² - 8x.

x² - 9 = 0
Dica: sempre que encontrar uma expressão do tipo a² - b², pense em transformá-la para (a + b)(a - b).
(x + 3)(x - 3) = 0
Se não acreditar, pode fazer a multiplicação distributiva, e chegará a x² - 9.
Lembre-se: fatorar é só escrever de outra forma.

2º tipo: Trinômio Quadrado Perfeito

Quando você tiver uma expressão do tipo a² + 2ab + b², pense logo em transformá-la para (a + b)².
Como identificar? Olhe se no começo e no final é possível extrair raiz.

x² + 6x = - 9 (passe o "-9" para o outro lado)
x² + 6x + 9 = 0 (a raiz de x² é x, e a de 9 é 3. Confira agora se 6x = 2.a.b = 2.3.x, o que é verdade)
(x + 3)² = 0
Perceba que se você realizar a multiplicação (x+3) por (x+3) chegará em x² + 6x + 9.

3º tipo: Soma e Produto

Você sabe calcular uma equação de segundo grau por soma e produto? Se não, veja aqui.

A soma e produto facilita muito, pois para fatorar qualquer equação de segundo grau, basta escrever da forma:

n(x - r)(x - r'), em que n é um número qualquer e r e r' são as raízes da equação. "n" é um número que pode dividir cada parte do polinômio.

Exemplos:

x² - 3x + 2 = 0
Qual é o maior número pelo qual o polinômio pode ser dividido? 1. Então nosso n é "1".
Quais são as raízes da equação, ou seja, quais os números que possuem soma "3" e multiplicação "2"?
1 e 2, certo? Se não tiver certeza, faça isso por Bháskara.
Logo, a fatoração dessa equação deverá ser:
1(x - 1)(x - 2) = 0 ou simplesmente (x - 1)(x - 2) = 0

Esse terceiro tipo resume todos os outros, mas é utilizado quando não for possível resolver do 1º ou 2º.
Veja:
x² = 4
Você não precisa fazer Bháskara para achar as raízes iguais a 2 e -2.
Pelo 3º tipo, você teria a fatoração (x - 2)(x + 2) = 0.

EXERCÍCIOS

Fatore as equações:

a)x² - 25 = 0
b) 9 - x² = 0
c) 3n² - 6n = 0
d) y² - 10y + 25 = 0
e) 9n² + 24n + 16 = 0
f) 4x² - 12x + 9 = 25

Exercício Resolvido 

Resolva a equação:

Lembre-se que (x2 – 4) é o mesmo que (x-2)(x+2);

Calculando o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores, temos:

(x + 2) ,           (x - 2)  ,           (x + 2)(x - 2)   |           (x + 2)
 1         ,           (x – 2) ,           (x – 2)             |           (x – 2)
1          ,           1          ,           1                     |           1

MMC = (x + 2)(x – 2)

Agora, dividimos  o MMC pelo que está embaixo na equação e multiplicamos pelo que está em cima (“Divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima”):

Cancele os denominadores:

x – 2 + 3x + 6 = 4
4x + 4 = 4
4x = 0
x = 0

Este artigo foi útil? Tem dúvidas? Comente.

18 comentários:

  1. Quero-te dar os parabens pelo teu blog. etsou a tirar uma sgunda licenciatiura, e a matmática é uma das disciplinas em que tenho dificuldades. obrigado por me tirar algumas duvidas. beijos

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  2. Parabéns pelo site!
    Tudo esta mtu bem explicadinho :)

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  3. Anônimo, sugiro que você leia com mais atenção o post e se não entender, explicite sua dúvida! ;)

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  4. aiaiai meu deus so eu te quer ler isso vai demorar
    eu tenho prova amanha e to ferrado

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  5. Felipe, no seu exercício resolvido, acho que encontrei um equívoco, me corrija se eu estiver errado:

    x-2+3x+6 = 4
    4x - 4 = 4 (ERRADO). O correto é:
    4x + 4 = 4
    4x = 0
    x = 0

    Obrigado pela atenção

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    1. Obrigado pela correção, foi falta de atenção minha mesmo. O erro já foi corrigido.
      Abraço!

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  6. Concordo com p anônimo ai de cima, também acredito em erro no exercício resolvido, da mesma maneira descrita acima.

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  7. ki porcaria esse site! =/

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  8. Têm que expor exercícios difíceis para pensarmos um pouco

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    1. Olá,
      Muitas pessoas têm dificuldade com matemática, por isso o intuito dessa postagem foi dar uma ideia geral de como resolver exercícios desse tipo.
      Se você quiser uma lista de exercícios mais difícil, deixe seu e-mail no formulário de Contato e lhe enviarei o material que encontrar.
      Abraço

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  9. porra to fudido prova amanha e nao entendi porra nenhuma

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  10. cade a respoooooooooooooooooooooooooosta ?

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  11. pode me ajudar a resolver a equação abaixo de fatoração para evidencia:
    6x³y - 6xy³

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  12. Olá, estou com um problema para fatorar esse problema:
    ax-ay+2x-2y
    Como faço?
    Obrigada

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