quarta-feira, 7 de outubro de 2015

Conjuntos


Tudo o que você precisa saber para responder as questões de conjuntos de concursos e vestibulares
Conjuntos são grupos de itens e cada item que o compõe é chamado de elemento. Exemplo: o conjunto das cores primárias é formado pelos elementos amarelo, azul e vermelho.

Para representar um conjunto, utilizamos letras maiúsculas. Geralmente, nomeiam-se os conjuntos seguindo a sequência normal do alfabeto: A, B, C, etc.

Os elementos podem ser representados de diversas formas. São cobrados por concursos e vestibulares quatro delas: notação entre chaves, diagrama de Venn, símbolos matemáticos e intervalos.

Notação entre chaves: os elementos são colocados entre chaves e separados por ponto-e-vírgula. Alguns vestibulares separam os elementos por vírgula, o que pode confundir o aluno se você tiver o elemento um e meio (1,5) ou os elementos um e cinco (1,5). Exemplos:
            A = {azul; amarelo; vermelho}
            B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
            C = {0,5; 1,5; 2,5} (perceba como não há confusão se utilizarmos o ponto-e-vírgula)

Diagrama de Venn: os elementos são colocados dentro de círculos, sendo que os elementos comuns a dois conjuntos têm de pertencer aos dois círculos. Considere os conjuntos: A={a; b; c; d; e}, B={a; e; i; o; u} e C={c}. A representação por diagrama será:

Símbolos matemáticos: são as relações entre conjuntos utilizando os símbolos matemáticos. Veja a tabela abaixo e os exemplos baseados nos conjuntos A={a; b; c; d; e}, B={a; e; i; o; u} e C={c}.



Exemplos:
(se necessário, visualize a imagem anterior para compreender melhor)

A U B = {a; b; c; d; e; i; o; u}                                  
A ∩ B = {a; e}
A – B = {b; c; d}                                                      
d A (d é elemento do conjunto A)                                         
d B (d não é elemento do conjunto B)
C ∩ B = { } (Não há elementos em comum nos conjuntos B e C)
A C (A contém C)
A B (A não contém B)
C A (C está contido em A ou C é subconjunto de A)                                          
C B (C não está contido em B)
           
Intervalos: são utilizados para representar uma sequência de números em uma reta. Tipos de intervalos:
]1;4[ = intervalo aberto nas duas extremidades. Todos os números entre 1 e 4, mas não 1 e 4.
]1;4] = intervalo aberto em uma das extremidades. Todos os números entre 1 e 4, mas não 1.
[1;4] = intervalo fechado nas duas extremidades. Todos os números entre 1 e 4, incluindo estes.


 Exercícios  

01- Se A B e B = {10, 23, 12, {1,2}}, então A U B é:
(A) Ø
(B) {1}
(C) {10, 23, 12}
(D) {15, 10} U {13,10}
(E) {10, 23, 12, {1,2}}

02- (UFPB-2007) Os 40 alunos de uma turma da 4ª série de uma escola de Ensino Fundamental foram a um supermercado fazer compras. Após 30 minutos no supermercado, a professora reuniu os alunos e percebeu que exatamente:
- 19 alunos compraram biscoitos.
- 24 alunos compraram refrigerantes.
- 7 alunos não compraram biscoitos nem refrigerantes.
O número de alunos que compraram biscoitos e refrigerantes foi:
A) 17              B) 15              C) 12              D) 10              E) 7

03 - (CESCEA-69) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, o conjunto (A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C) é:
a){a,b,c,e}                             b){a,c,e}                                 c)A
d){b,d,e}                                e){b,c,d,e}

04- (CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {1,2,-1,0,4,3,5} e B = {-1,4,2,0,5,7} assinale a afirmação verdadeira:
a) A U B = {2,4,0,-1}                        b) A ∩ (B - A) = Ø
c) A ∩ B = {-1,4,2,0,5,7,3}              d) (A U B) ∩ A = {-1,0}
e) Nenhuma das respostas anteriores

Resoluções

01 – (E). Se A está contido em B, todos os elementos de A estão também em B. Logo, a união desses dois conjuntos são os próprios elementos de B, visto que seria redundante contar os elementos de A de novo. Note que, como o vestibular não usou ponto-e-vírgula, utilizaram-se chaves dentro de chaves para identificar o elemento 1,2, o que é válido.

02- (D). Dica: desenhe o diagrama da situação. Como 7 dos alunos não compraram nenhum dos dois itens, temos 40 – 7 = 33 alunos que compraram biscoitos e/ou refrigerante. Seja A o conjunto dos biscoitos e B o dos refrigerantes. Temos: A ∩ B = 33, A = 19 e B = 24.
A U B = A + B – A ∩ B = 10 alunos.

03- (A). Dica: Resolva primeiro os “novos” conjuntos entre parênteses. Em seguida, resolva as operações seguindo a ordem que aparecem.


04 –(B). Dica: Resolva cada uma das alternativas separadamente.

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